空间群是什么?关于空间群的详细介绍

创闻科学2020-11-17 12:37:21

晶体内部结构中全部对称要素的集合称为 “空间群” 。具体地说是晶胞中全部对称要素的组合。

简介

晶体内部结构中全部对称要素的集合称为 “空间群” 。

一切晶体结构中总共只能有230种不同的对称要素组合方式,即230个空间群。它是由俄国结晶学家费多洛夫(Евграф Степанович Федоров,1853-1919)和德国结晶学家薛弗利斯(Artur Moritz Schoenflies,1853-1928)于1890至1891年间各自独立地先后推导得出来的,故亦称为“230个费多洛夫群”。

空间型和对称型(点群)体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体,其内部结构可分属于若干空间群。

空间群可以分为两类:一类称为简单空间群或称点空间群;一类称为复杂空间群或称非点空间群。

所谓点空间群,是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的,具体分析表明,共有73种不同的点空间群。

晶体内部结构的对称要素

研究空间格子仅仅是研究了晶体结构的平移对称性,除了平移对称外,晶体结构还有与宏观形态上一样的旋转、反映对称。并且这些旋转、反映操作与平移操作复合起来就会产生内部结构特有的一些对称要素:

  • 平移轴(translation axis)

  • 螺旋轴(screw axis)

  • 滑移面(glide plane)

平移轴

为一直线方向,相应的对称操作为沿此直线方向平移一定的距离。对于具有平移轴的图形,当施行上述对称操作后,可使图形相同部分重复。在平移这一对称变换中,能够使图形复原的最小平移距离,称为平移轴的移距

  • 晶体结构中的行列均是平移轴

  • 平移轴有无限多

螺旋轴

螺旋轴是一种复合的对称元素。其辅助几何要素为:一根假想的直线及与之平行的直线方向。相应的对称操作:围绕此直线旋转一定角度,沿此直线方向平移一定距离后,结构中的每一质点都与其相同的质点重合,整个结构自相重合。

螺旋轴的国际符号一般写成 。n为轴次,s为小于n的自然数。n=2、3、4、6,相应的基转角为180° 、120 ° 、90° 、60°,质点的平移距离为(s/n)·T。

螺旋轴有2, 3, 4, 6 次四个轴次,分为 等11种。

外部对称 内部对称要素 平移量
2 1/2
3 1/3, 2/3
4 1/4, 2/4, 3/4
6 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, 5/6

螺旋轴据其旋转的方向可有右旋螺旋轴(逆时针旋转, 旋进方向与右手系相同, 将右手大拇指伸直, 其余四指并拢弯曲, 则大拇指指向平移方向, 四指指向旋转方向) 和左旋螺旋轴(顺时针旋转, 旋进方向与左手系相同) 及中性螺旋轴(顺、逆时针旋转均可)之分。

螺旋轴的规定:

凡0 < s < n/2 者(即包括 ),为右旋螺旋轴;螺距为:(s/n) · T 。

凡n/2 < s < n 者(即包括 ),由于它们相应为的 等螺距的反向旋转螺旋轴, 因此称为左旋螺旋轴。螺距为:(1-s/n) · T 。

至于s = n/2 者, 按右旋方式旋转 后, 螺距为1/2 T ;而按左旋方式旋转 后, 螺距仍为(1-(n/2)n) T =1/2 · T ,所以为中性螺旋轴(包括 )。

滑移面

滑移面是晶体结构中的一假想的平面,当结构对此平面反映,并平行此平面移动一定的距离后,构造中的每一

个点与其相同的点重合,整个构造自相重合。

几何要素有两个:一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向

相应的对称操作为:对于此平面的反映和沿此直线方向平移的联合,其平移的距离等于该方向行列结点间距的一半

滑移面按其滑移的方向和距离可分为a、b、c、n、d 五种,其中a、b和c 为轴向滑移面,移距分别为1/2·a,1/2·b,1/2·c。

n为对角线滑移面,移距为1/2·(a+b)或 1/2·(b+c)等。

d 为金刚石滑移面,移距为1/4·(a+b), 1/4·(a+c)、1/4·(b+c)和1/4·(a+b+c)等。

空间群的表达

空间群的概念

空间群为晶体内部结构的对称要素(操作)的组合。空间群共有230种,空间群亦称之为费德洛夫群(Fedrov group)或圣佛利斯群(Schoenflies group)。

  • 一个空间群可看成是由两部分组成的,一部分是晶体结构中所有平移轴的集合,称为平移群;另一部分就是点群, 即晶体宏观对称要素的集合;

  • 空间群是从对称型(点群)中推导出来的,每一对称型(点群)可产生多个空间群,所以32个对称型(点群)可产生230种空间群。32点群+ 14 种空间格子(平移群)= 230 种空间群;

  • 空间群的表示方法与对称型的符号一致,共两种:即国际符号和圣佛利斯符号。

空间群的国际符号

空间群国际符号包含了空间格子类型, 对称元素及其相互之间的关系。

分两个部分:

  • 前一部分为大写英文字母,是平移群的符号,即布拉维格子类型(P、C(A、B)、I、F)的符号;

  • 后一部分与对称型(点群)的国际符号基本相同,只是其中晶体的某些宏观对称要素的符号需换成相应的内部结构对称要素的符号。

  • 如L4对应的国际符号为

  • 优点:可直接看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。

  • 缺点:同一空间群由于不同的定向以及其他因素可以写成不同的国际符号。

空间群的圣佛利斯符号

空间群的圣佛利斯符号表示方法很简单,即在其对称型的圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。

如对称型 的圣佛利斯符号为 ,与它对应的六个空间群的圣佛利斯符号分别为

  • 优点:每一种圣佛利斯符号只与一种空间群对应。

  • 缺点:不能直观看出格子类型和各方向存在哪些对称要素。

在表示空间群时,鉴于两种符号各自的特点,一般采用两种符号并用。

例:

金红石: ——

金刚石: ——

闪锌矿: ——

晶系、点群与空间群
晶系 点群 空间群编号 空间群记号
三斜 1 1 P1
-1 2 P-1
单斜 2 3 P2
4 P21
5 C2
m 6 Pm
7 Pc
8 Cm
9 Cc
2/m 10 P2/m
11 P21/m
12 C2/m
13 P2/c
14 P21/c
15 C2/c
正交 222 16 P222
17 P2221
18 P21212
19 P212121
20 C2221
21 C222
22 F222
23 I222
24 I212121
mm2 25 Pmm2
26 Pmc21
27 Pcc2
28 Pma2
29 Pca21
30 Pnc2
31 Pmn21
32 Pba2
33 Pna21
34 Pnn2
35 Cmm2
36 Cmc21
37 Ccc2
38 Amm2
39 Abm2
40 Ama2
41 Aba2
42 Fmm2
43 Fdd2
44 Imm2
45 Iba2
46 Ima2
mmm 47 Pmmm
48 Pnnn
49 Pccm
50 Pban
51 Pmma
52 Pnna
53 Pmna
54 Pcca
55 Pbam
56 Pccn
57 Pbcm
58 Pnnm
59 Pmmn
60 Pbcn
61 Pbca
62 Pnma
63 Cmcm
64 Cmca
65 Cmmm
66 Cccm
67 Cmma
68 Ccca
69 Fmmm
70 Fddd
71 Immm
72 Ibam
73 Ibca
74 Imma
四方 4 75 P4
76 P41
77 P42
78 P43
79 I4
80 I41
-4 81 P-4
82 I-4
4/m 83 P4/m
84 P42/m
85 P4/n
86 P42/n
87 I4/m
88 I41/a
422 89 P422
90 P4212
91 P4122
92 P41212
93 P4222
94 P42212
95 P4322
96 P43212
97 I422
98 I4122
4mm 99 P4mm
100 P4bm
101 P42cm
102 P42nm
103 P4cc
104 P4nc
105 P42mc
106 P42bc
107 I4mm
108 I4cm
109 I41md
110 I41cd
-42m 111 P-42m
112 P-42c
113 P-421m
114 P-421c
115 P-4m2
116 P-4c2
117 P-4b2
118 P-4n2
119 I-4m2
120 I-4c2
121 I-42m
122 I-42d
4/mmm 123 P4/mmm
124 P4/mcc
125 P4/nbm
126 P4/nnc
127 P4/mbm
128 P4/mnc
129 P4/nmm
130 P4/ncc
131 P42/mmc
132 P42/mcm
133 P42/nbc
134 P42/nnm
135 P42/mbc
136 P42/mnm
137 P42/nmc
138 P42/ncm
139 I4/mmm
140 I4/mcm
141 I41/amd
142 I41/acd
三方 3 143 P3
144 P31
145 P32
146 R3
-3 147 P-3
148 R-3
32 149 P312
150 P321
151 P3112
152 P3121
153 P3212
154 P3221
155 R32
3m 156 P3m1
157 P31m
158 P3c1
159 P31c
160 R3m
161 R3c
-3m 162 P-31m
163 P-31c
164 P-3m1
165 P-3c1
166 R-3m
167 R-3c
六方 6 168 P6
169 P61
170 P65
171 P62
172 P64
173 P63
-6 174 P-6
6/m 175 P6/m
176 P63/m
622 177 P622
178 P6122
179 P6522
180 P6222
181 P6422
182 P6322
6mm 183 P6mm
184 P6cc
185 P63cm
186 P63mc
-6m 187 P-6m2
188 P-6c2
189 P-62m
190 P-62c
6/mmm 191 P6/mmm
192 P6/mcc
193 P63/mcm
194 P63/mmc
立方 23 195 P23
196 F23
197 I23
198 P213
199 I213
m-3 200 Pm-3
201 Pn-3
202 Fm-3
203 Fd-3
204 Im-3
205 Ia-3
206 Pa-3
432 207 P432
208 P4232
209 F432
210 F4132
211 I432
212 P4332
213 P4132
214 I4132
-4 3m 215 P-43m
216 F-43m
217 I-43m
218 P-43m
219 F-43c
220 I-43d
m-3 m 221 Pm-3m
222 Pn-3n
223 Pm-3n
224 Pn-3m
225 Fm-3m
226 Fm-3c
227 Fd-3m
228 Fd-3c
229 Im-3m
230 Ia-3d

等效点系

等效点系的概念

在晶体结构中,由一原始点经空间群中所有对称要素操作所推导出来的规则点系。这些点所分布的空间位置称之为等效位置。

  • 等效点系与空间群的关系,相当于单形与对称型(点群)的关系;

  • 在晶体结构中,质点按等效点系分布,同种类型质点占据一套或几套等效点系,不同种类型质点不能占据同一套等效点系。

等效点系的描述
  1. 重复点数:一套等效点系在一个单位晶胞中所拥有的等效点的数目称该等效点系的重复点数。

  2. Wyckoff符号:对不同的等效点系,分别给予不同的记号如a、b、c、d、e、f、g、h,…等小写英文字母予以代表,称为各等效点系的魏科夫符号。

  3. 点位置上的对称性:是指该套等效点系的等效点所处位置上环境的对称性。

  4. 点的坐标:是指对一个单位晶胞中的等效点的坐标。它与前述对空间格子中结点的坐标方法基本相同,其坐标值以轴单位的系数形式给出。对于确定的值以分数、小数,0或1来表示;对不确定者则以x、y、z表示之。由于对等效点系的坐标仅局限于一个单位晶胞的范围内,故在坐标值中不可能出现大于1的情况。

  5. 特殊等效点系与一般等效点系:位于对称要素上的点系叫特殊等效点系。特殊等效点系的点数较少。不位于对称要素上的点系叫一般等效点系。一般等效点系对称程度最低,而重复点数总是最多。

通常只考虑在一个单位晶胞范围内的情况,即在单位晶胞中,彼此能对称重复的各个结构位置,构成一个等效位置组。

等效点系示例
65 (Cmmm)
Multiplicity Wyckoffletter Sitesymmetry Coordinates
(0,0,0) + (1/2,1/2,0) +
16 r 1

(x,y,z) (-x,-y,z) (-x,y,-z) (x,-y,-z)

(-x,-y,-z) (x,y,-z) (x,-y,z) (-x,y,z)

8 q ..m (x,y,1/2) (-x,-y,1/2) (-x,y,1/2) (x,-y,1/2)
8 p ..m (x,y,0) (-x,-y,0) (-x,y,0) (x,-y,0)
8 o .m. (x,0,z) (-x,0,z) (-x,0,-z) (x,0,-z)
8 n m.. (0,y,z) (0,-y,z) (0,y,-z) (0,-y,-z)
8 m ..2 (1/4,1/4,z) (3/4,1/4,-z) (3/4,3/4,-z) (1/4,3/4,z)
4 l mm2 (0,1/2,z) (0,1/2,-z)
4 k mm2 (0,0,z) (0,0,-z)
4 j m2m (0,y,1/2) (0,-y,1/2)
4 i m2m (0,y,0) (0,-y,0)
4 h 2mm (x,0,1/2) (-x,0,1/2)
4 g 2mm (x,0,0) (-x,0,0)
4 f ..2/m (1/4,1/4,1/2) (3/4,1/4,1/2)
4 e ..2/m (1/4,1/4,0) (3/4,1/4,0)
2 d mmm (0,0,1/2)
2 c mmm (1/2,0,1/2)
2 b mmm (1/2,0,0)
2 a mmm (0,0,0)
123 (P4/mmm)
Multiplicity Wyckoffletter Sitesymmetry Coordinates
16 u 1

(x,y,z) (-x,-y,z) (-y,x,z) (y,-x,z)

(-x,y,-z) (x,-y,-z) (y,x,-z) (-y,-x,-z)

(-x,-y,-z) (x,y,-z) (y,-x,-z) (-y,x,-z)

(x,-y,z) (-x,y,z) (-y,-x,z) (y,x,z)

8 t .m.

(x,1/2,z) (-x,1/2,z) (1/2,x,z) (1/2,-x,z)

(-x,1/2,-z) (x,1/2,-z) (1/2,x,-z) (1/2,-x,-z)

8 s .m.

(x,0,z) (-x,0,z) (0,x,z) (0,-x,z)

(-x,0,-z) (x,0,-z) (0,x,-z) (0,-x,-z)

8 r ..m

(x,x,z) (-x,-x,z) (-x,x,z) (x,-x,z)

(-x,x,-z) (x,-x,-z) (x,x,-z) (-x,-x,-z

8 q m..

(x,y,1/2) (-x,-y,1/2) (-y,x,1/2) (y,-x,1/2)

(-x,y,1/2) (x,-y,1/2) (y,x,1/2) (-y,-x,1/2)

8 p m..

(x,y,0) (-x,-y,0) (-y,x,0) (y,-x,0)

(-x,y,0) (x,-y,0) (y,x,0) (-y,-x,0)

4 o m2m. (x,1/2,1/2) (-x,1/2,1/2) (1/2,x,1/2) (1/2,-x,1/2)
4 n m2m. (x,1/2,0) (-x,1/2,0) (1/2,x,0) (1/2,-x,0)
4 m m2m. (x,0,1/2) (-x,0,1/2) (0,x,1/2) (0,-x,1/2)
4 l m2m. (x,0,0) (-x,0,0) (0,x,0) (0,-x,0)
4 k m.2m

(x,x,1/2) (-x,-x,1/2) (-x,x,1/2) (x,-x,1/2)

4 j m.2m (x,x,0) (-x,-x,0) (-x,x,0) (x,-x,0)
4 i 2mm. (0,1/2,z) (1/2,0,z) (0,1/2,-z) (1/2,0,-z)
2 h 4mm (1/2,1/2,z) (1/2,1/2,-z)
2 g 4mm (0,0,z) (0,0,-z)
2 f mmm. (0,1/2,0) (1/2,0,0)
2 e mmm. (0,1/2,1/2) (1/2,0,1/2)
1 d 4/mmm (1/2,1/2,1/2)
1 c 4/mmm (1/2,1/2,0)
1 b 4/mmm (0,0,1/2)
1 a 4/mmm (0,0,0)