布朗运动是什么?关于布朗运动的详细介绍

创闻科学2020-11-16 15:53:27

布朗运动(Brownian motion)是微小粒子或者颗粒在流体中做的无规则运动,由英国植物学家罗伯特·布朗所发现而得名。做布朗运动的微粒的直径数量级一般约为10⁻⁶ cm,这些小的微粒处于液体或气体中时,由于液体分子的热运动,微粒受到来自各个方向液体分子的碰撞。由于这种不平衡的冲撞,微粒的运动不断地改变方向而使微粒出现不规则的运动。每个小颗粒在液体中受周围液体分子的碰撞频率约为每秒钟10¹⁹ 次。布朗运动的剧烈程度随着流体的温度升高而增加。

同时在数学描述上,布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为:布朗运动W(t)是期望为0、方差为t(时间)的正态随机变量。对于任意的r小于等于s,W(t)-W(s)独立于的W(r),且是期望为0、方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。

定义

自1860年以来,许多科学家都在研究此种现象,人们发现布朗运动有下列的主要特性:

  1. 粒子的运动由平移及转移所构成,显得非常没规则而且其轨迹几乎是处处没有切线。

  2. 粒子之移动显然互不相关,甚至于当粒子互相接近至比其直径小的距离时也是如此。

  3. 粒子越小或液体粘性越低或温度越高时,粒子的运动越活泼。

  4. 粒子的成分及密度对其运动没有影响。

  5. 粒子的运动永不停止。

总结来说,被分子撞击的悬浮微粒做无规则运动的现象叫做布朗运动。看起来连成一片的流体,在高倍显微镜下看其实是由许许多多分子组成的。流体分子不停地做无规则的运动,不断地随机撞击悬浮微粒。当悬浮的微粒足够小的时候,由于受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间,微粒在另一个方向受到的撞击作用超强的时候,致使微粒又向其它方向运动,这样就引起了微粒的无规则的运动,即布朗运动。

运动特点

1.无规则

每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力,由于分子运动的无规则性,每一瞬间,每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同,合力大小、方向随时改变,因而布朗运动是无规则的。

2.永不停歇

因为液体分子的运动是永不停息的,所以液体分子对固体微粒的撞击也是永不停息的。

3.颗粒越小,布朗运动越明显

颗粒越小,颗粒的表面积越小,同一瞬间,撞击颗粒的液体分子数越少,据统计规律,少量分子同时作用于小颗粒时,它们的合力是不可能平衡的。而且,同一瞬间撞击的分子数越少,其合力越不平衡,又颗粒越小,其质量越小,因而颗粒的加速度越大,运动状态越容易改变,故颗粒越小,布朗运动越明显。

4.温度越高,布朗运动越明显

温度越高,液体分子的运动越剧烈,分子撞击颗粒时对颗粒的撞击力越大,因而同一瞬间来自各个不同方向的液体分子对颗粒撞击力越大,小颗粒的运动状态改变越快,故温度越高,布朗运动越明显。

5.肉眼不可见

做布朗运动的固体颗粒很小,肉眼是看不见的,必须在显微镜才能看到。

布朗运动间接反映并证明了分子热运动。

发展历史

虽然1785年扬·英根豪斯便描述了酒精表面上煤尘颗粒的不规则运动,但这种现象的发现通常归功于植物学家罗伯特·布朗。在1827年,布朗正在研究悬浮在水中的植物Clarkia pulchella的花粉。在显微镜下,他观察到由花粉粒喷出的微小颗粒,在水中发生了无规则抖动。通过对无机物颗粒进行重复实验,他可以排除该运动与生命有关,但这种现象的起源尚待解释。

Thorvald N. Thiele在1880年发表的有关最小二乘法的论文使得他成为第一个描述布朗运动背后的数学的人。随后,路易斯·巴切里尔于1900年在其博士学位论文“投机理论”中对股票和期权市场进行了随机分析。人们经常引用股票市场的布朗运动模型,但Benoit Mandelbrot拒绝将其适用于股票价格变动,部分原因是它们是不连续的。而阿尔伯特·爱因斯坦(在1905年的一篇论文中)和玛丽安·斯莫卢霍夫斯基(1906年)提出的对这一问题的解决方案引起了物理学家的注意,并且他们提出了一种间接确认原子和分子存在的方法。他们对布朗运动进行描述的物理方程随后由让·巴蒂斯特·佩林在1908年的实验工作得以验证。

对于布朗运动之误解

值得注意的是,布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动,而不是分子的随机运动。但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。一般而言,花粉之直径分布于30~50 μm、最小亦有10 μm之谱,相较之下,水分子直径约0.3 nm,略为花粉的十万分之一。因此,花粉难以产生不规则振动。事实上花粉几乎不受布朗运动之影响。在罗伯特·布朗的手稿中,“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”,而非指花粉本身。然而在翻译为诸国语言时,时常受到误解,以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。积非成是之下,在大众一般观念中,此误会已然根深蒂固。

在日本,以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞,岩波书店‘岩波理科辞典’、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌一‘物理学原论(上)’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’,甚至日本的理科课本等等,皆呈现错误之叙述。直到1973年横浜市立大学名誉教授植物学者岩波洋造在著书‘植物之SEX‐不为人知的性之世界’中,点出此误谬之前,鲜少有人注意。国立教育研究所物理研究室长板仓圣宣在参与制作岩波电影‘回动粒子’(1970年)时,实际摄影漂浮在水中之花粉,却发现花粉完全没有布朗运动。遂于1975年3月,以“外行人与专家之间”为题,解说有关布朗运动之误会。

爱因斯坦的理论

在1905年,爱因斯坦提出了相关理论。他的理论有两个部分:第一部分定义布朗粒子扩散方程式,其中的扩散系数与布朗粒子均方位移相关,而第二部分则将扩散系数与可测量的物理量联系起来。以此方式,爱因斯坦可决定原子的大小,一摩尔有多少原子,或气体的分子量。

爱因斯坦论证的第一部分是,确定布朗粒子在一定的时间内运动的距离。 经典力学无法确定这个距离,因为布朗粒子将会受到大量的撞击,每秒大约发生 b次撞击。因此,爱因斯坦将之简化,即讨论一个布朗粒子团的运动。他把粒子在一个的空间中,把布朗粒子在一维方向上的运动增量 ( ) 视作一个随机值,并对其坐标进行变换,让原点成为粒子运动的初始位置,并给出概率密度函数φ(Δx)。另外,他假设粒子的数量有限,并扩大了密度(单位体积内粒子数量),展开成泰勒级数 。

第一行中的第二个等式是被φ这个函数定义的。第一项中的积分等于一个由概率定义函数,第二项和其他偶数项(即第一项和其他奇数项)由于空间对称性而消失。化简可以得到以下关系关系:

拉普拉斯算子之前的系数,是下一刻的随机位移量Δx,令D 为质量扩散系数:

那么在 t 时刻 x 处的布朗粒子密度 ρ 满足扩散方程:

假设在初始时刻t = 0时,所有的粒子从原点开始运动,扩散方程的解为:

进而可以得到粒子的均方位移与时间和扩散系数的关系为:

爱因斯坦从该表述中认为,布朗粒子的位移与所经过的时间不成比例,而是与其平方根成正比。

起初,爱因斯坦公式的预测似乎被一系列的实验驳斥了:Svedberg在1906年和1907年进行的实验得出的颗粒位移是预测值的4到6倍,而Henri在1908年发现的位移是爱因斯坦理论预测值的3倍。但是爱因斯坦的预言最终在Chaudesaigues和Perrin在1908年进行的一系列实验中得到了证实。爱因斯坦理论的证实补充了热力学理论的经验性进展。从本质上讲,爱因斯坦表明可以直接从热平衡动力学模型预测运动情况。该理论的重要性在于,它证实了动力学理论对热力学第二定律的解释本质上是统计定律。

数学模型

定义

满足下列条件的鞅我们称之为布朗运动

  1. 这个鞅是关于时间连续的。

  2. 它的平方减去时间项也是一个鞅。

( )是一个布朗运动当且仅当( )为鞅,且( )也为鞅。

其他定义

一维的定义

一维布朗运动 是关于时间t的一个随机过程,它满足 :

  1. (独立增量)设时间t和s满足t>s,增量 独立于时间s前的过程

  2. (稳定增量和正态性)设时间t和s满足t>s,增量 服从均值为0方差为t−s的正态分布。

  3. 几乎处处连续, 也就是说在任何可能性下, 函数 是连续的.

  4. 通常假设 。这种布朗运动我们称它为标准的。

等价定义

一维布朗运动 是关于时间t的一个随机过程,它满足 :

1. 是一个高斯过程,也就是说对于所有的时间列: ,随机向量: 服从高维高斯分布(正态分布)。

2. 几乎处处连续。

3.对于所有s和t,均值 ,协方差

高维定义

是d维布朗运动,只需满足 为独立的布朗运动。

备注

  1. 布朗运动是一种增量服从正态分布的莱维过程。

  2. 这个定义可以帮助我们证明布朗运动的很多特性,比如几乎处处连续,轨迹几乎处处不可微等等。

  3. 我们可以利用二次变差的期望为时间来等价定义布朗运动。这个定义由Levy定理演化而来, 即: 轨迹连续且二次变差为t的随机过程为布朗运动。

数学性质
  1. 布朗运动的轨道几乎处处不可微:对于任何ω∈Ω,轨道 一个连续但是零可微的函数。

  2. 协方差

  3. 布朗运动具有强马氏性: 对于停时T,取条件 ,过程 为一个独立于 的布朗运动。

  4. 它的Fourier变换或特征函数为 。可见,布朗运动是一个无偏,无跳跃,二项系数为1/2的Levy过程。

  5. 布朗运动关于时间是齐次的: 对于s> 0, 是一个独立于 的布朗运动。

  6. -B是一个布朗运动。

  7. (稳定性) 对于c> 0, 是布朗运动。

  8. (时间可逆性) 在t=0之外是布朗运动。

  9. (常返性)只有1维和2维布朗运动是常返的:

  10. (反射原理)

金融数学中的应用

发展时间线

1827年,布朗,布朗运动现象

1900年,巴舍利耶,用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型

1905年,爱因斯坦,布朗运动的数学刻画

1944年,伊藤清,对布朗运动引进随机积分

1951年,伊藤清,引进伊藤公式

1952年,马科维茨,资产组合理论

1958年,默顿·米勒与弗兰科·莫迪利安尼,“莫迪利安尼-米勒(MM)定理”,并首次提出“无套利假设(No-Arbitrage)”

1964年,威廉·夏普等,资本资产定价理论(Capital Asset Pricing Model,CAPM)

1970年,尤金·法玛,正式提出有效市场假说

1973年,布莱克与斯科尔斯, Black-Scholes期权定价公式

1973年,罗伯特·莫顿,衍生证券定价理论

1976年,斯蒂芬·罗斯,套利定价理论(Arbitrage Pricing Theory,APT)

1990年,巴赫杜与彭实戈,倒向随机微分方程理论

1997年,彭实戈,g-期望理论

1999年,P.Artzner,F.Delbaen,J.Eber与D.Heath,一致风险度量理论(Coherent Measures of Risk)

2005年,彭实戈,G-期望理论

基本思想

布朗运动体现出的随机游走思想,对研究不可预测的连续时间过程机制至关重要。

  • 巴舍利耶在1900年的博士论文《投机理论(The Theory of Speculation)》中提出,影响股票价格涨跌的原因有许许多多,无法准确地用概率模型动态预测;但在市场的某一个静态时刻,可以建立数学模型来分析市场涨跌的概率大小,即用随机游动思想给出股票价格运行的随机模型。此后,基于布朗运动的对数正态随机游走理论逐渐成为金融市场的经典框架——资产价格具有很强的随机游走特征,无法通过任何手段准确预测;每个价格都是独立的个体,与历史上的价格似乎无任何关联;市场中已知的信息似乎对于预测股价无效——这也为尤金·法玛 于1970年提出有效市场假说(Efficient Markets Hypothesis,EMH)奠定了基础。

  • EMH对价格随机游走特征的解释是,在任一时点,资产的价格包含了有关该资产的所有信息。这意味着:信息量随时间严格递增,历史数据中没有任何未来信息,因此历史数据无法用来预测;当前的价格已经充分反映了当前的所有已知信息,而未来价格的变化依然无法预知;随机游走是未来信息不确定的体现。正基于此,有效市场理论的三种形式才广为人知:

  1. 强式有效市场——信息对所有投资者公开,不存在内幕信息;证券价格及时充分反映所有相关信息

  2. 半强式有效市场——存在内幕信息,证券价格及时充分反映所有公开信息;只有掌握内幕信息的投资者可以获得超额收益

  3. 弱式有效市场——存在内幕信息,证券价格充分反映所有历史信息,但不及时充分反映最新公开信息;掌握内幕信息或及时正确解读最新信息的投资者,可以获得超额收益

  • 1923年,诺伯特·维纳(Norbert Wiener,1894-1964)为布朗运动建立了一套严格的数学体系,随即在纯数学领域(连续鞅、连续时间随机过程、扩散过程、位势论等方面)及应用数学领域(刻画白噪声高斯过程的积分,用于信号处理、控制理论等方面)都引起了重视。

  • 1944年,日本数学家伊藤清(Ito Kiyoshi,1915-2008)对布朗运动引进随机积分,随后建立随机微分方程理论;1951年又引进伊藤公式,被誉为“华尔街最著名的数学家”。

  • 在此基础上,美国经济学家费希尔·布莱克(Fischer Black,1938-1995)和迈伦·斯科尔斯(Myron Scholes,1941-)于1973年提出Black-Scholes期权定价公式;随后,罗伯特·莫顿(Robert C. Merton,1944-)发展出衍生证券定价理论,继哈里·马科维茨(Harry Markowitz,1927-)于1952年发表博士论文《资产选择(Portfolio Selection)》并提出资产组合理论后,掀起“华尔街第二次金融革命”,Scholes与Merton也荣获1997年诺贝尔经济学奖。