时频分析是什么?关于时频分析的详细介绍

创闻科学2020-11-16 15:45:48

在信号处理中,时频分析包括利用各种时频表示同时对信号从时域以及频域进行研究的技术,时频分析既不是观察一维信号(一个作用域是一维实线的实值或复值函数)亦非一些变换(通过该运算从原始信号获得另一个作用域为一维实线的函数),而是研究二维信号一一通过时频变换从信号中获得一个作用域是二维实平面的函数。

这项研究的数学依据是函数和它们的变换表示经常是紧密相连的,通过把它们作为二维对象共同研究,而不是分别进行研究,可以更好地理解它们。一个简单的例子是,傅立叶变换的4倍周期——以及2倍傅立叶变换具有反转方向的事实——可以通过将傅立叶变换视为相关时间-频率平面中的90°旋转来解释:4次旋转产生同一性,2次旋转则简单地反转方向(通过原点的反射)。

时频分析的实际依据是,经典傅立叶分析假设信号在时间上是无限的或周期性的,而实际上许多信号持续时间很短,并且在持续时间内会发生显著变化。例如,传统乐器不会产生无限长的正弦曲线,而是从初始的冲击开始,然后逐渐衰减。由于使用传统方法无法得到较好的处理结果,因此学者们提出了时频分析。

时频分析最基本的形式之一是短时傅立叶变换(STFT),但是更复杂的技术亦已被提出,特别是小波。

动机

在信号处理中,时频分析 是一套用于表征和处理统计随时间变化的信号(如瞬态信号)的技术和方法。

虽然傅立叶变换技术可以进行扩展,从而获得任何缓慢增长的局部可积信号的频谱,但是这种方法需要对信号在所有时间内的行为进行完整的描述。事实上,人们可以把(频谱)频域中的点看作是将整个时域中的信息涂抹在一起。虽然这种技术在数学上很优雅,但不适用于分析未来行为不确定的信号。例如,一个人必须预先假定任何电信系统中某种程度的不确定未来行为,以使熵非零(如果一个人已经知道另一个人会说什么,那他就什么也学不到,此视熵即为零)。

为了利用频率表示的功率而不需要时域中的完整表征,首先获得信号的时频分布,该分布同时在时域和频域中表示信号。在这种表示中,频域将仅反映信号在局部时间内的行为。这使得人们能够理智地谈论成分频率随时间变化的信号。例如,人们可以使用这些方法来描述具有时变频率的信号,而不是使用调和分布来将如下函数全局变换到频域。一旦这样的表示出现,可以将时频分析中的其他技术应用于信号,如从信号中提取信息,将信号从噪声或干扰信号中分离出来等等。

时频分布函数

规划

有几种不同的方法可以形成有效的时频分布函数,从而产生几种众所周知的时频分布,例如:

  • 短时傅立叶变换(包括加博尔(Gabor)变换),
  • 小波变换
  • 双线性时频分布函数(魏格纳分布函数,即 WDF)
  • 修正的魏格纳分布函数、加博尔-魏格纳分布函数等
  • 希尔伯特-黄变换
理想TF分布函数

理想的时频分布函数应具有以下特性:

  1. 时间和频率的高分辨率,便于分析和解释。
  2. 没有交叉项,以避免混淆真实组件以及伪像或噪声。
  3. 一系列的理想数学属性以确保这些方法有益于实际应用。
  4. 降低计算复杂度,以确保在时频平面上表示和处理信号所需的时间,从而实现实时实现。

下面是对一些选定的时频分布函数进行的简短比较。

清楚 交叉项 良好的数学性质 计算的复杂性
加博尔变换 最差的 最差的 低的
魏格纳分布函数 最好的 最好的 高的
加博尔-魏格纳分布函数 好的 几乎被淘汰 好的 高的
锥形分布函数 好的 否(及时消除) 好的 Medium (if recursivey defined)

为了更好地分析信号,选择合适的时频分布函数非常重要。应使用哪种时频分布函数取决于所考虑的应用,如查看应用列表所示。对于一些信号获得的维格纳分布函数(WDF)的高清晰度是由于其公式中固有的自相关函数;然而,后者也造成了交叉项问题。因此,如果我们想分析单个项的信号,使用魏格纳分布函数可能是最好的方法;如果信号由多个分量组成,其他一些方法如加博尔变换、加博尔-魏格纳分布或修正的B分布函数可能是更好的选择。

举例来说,傅立叶分析不能区分如下两个信号: