拉格朗日中值定理是什么?关于拉格朗日中值定理的详细介绍

创闻科学2020-11-16 15:27:58

拉格朗日中值定理又称拉氏定理,是微分学中的基本定理之一,它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,同时也是柯西中值定理的特殊情形,是泰勒公式的弱形式(一阶展开)。法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》的第六章提出了该定理,并进行了初步证明,因此人们将该定理命名为拉格朗日中值定理。

定律定义定理表述

如果函数满足:

(1)在闭区间上连续;

(2)在开区间内可导;

那么在开区间内至少有一点使等式成立。

其他形式

,令,则有

上式称为有限增量公式

我们知道函数的微分是函数的增量的近似表达式,一般情况下只有当很小的时候,之间的近似度才会提高;而有限增量公式却给出了当自变量取得有限增量不一定很小)时,函数增量的准确表达式,这就是该公式的价值所在。

验证推导

辅助函数法:

已知上连续,在开区间内可导,

构造辅助函数

可得又因为上连续,在开区间内可导,

所以根据罗尔定理可得必有一点使得

由此可得

变形得

定理证毕。

定理推广

推论

如果函数在区间上的导数恒为零,那么函数在区间上是一个常数。

证明

在区间上任取两点由拉格朗日中值定理得

由于已知

因为是区间上的任意两点,所以在区间上的函数值总是相等的,

即函数在区间上是一个常数。

推广

如果函数在开区间内可导且都存在

则在开区间内至少存在一点,使得

有限增量公式的θ

拉格朗日中值定理有一个变形,即所谓的有限增量公式:。其中的有一个很重要的性质:

点连续,且,则

证明由于点连续,所以有

(1)

(2)

将(1)和(2)同时代入有限增量公式,可得,,利用点处的连续性及,在等式两边同取极限(令),即可得结论。

导函数连续定理

证明导函数连续定理

若函数的某邻域内连续,在内可导,且存在,则处可导,并且有

解析:该定理给出了导函数连续的一个充分条件。(注意:必要性不成立,即函数在某点可导,不能推出导函数在该点连续,因为该点还可能是导函数的振荡间断点。)我们知道,函数在某一点的极限不一定等于该点处的函数值;但如果这个函数是某个函数的导函数,则只要这个函数在某点有极限,那么这个极限就等于函数在该点的取值。

证明:由导数的定义可知,函数在某点可导的充要条件是函数在该点的左右导数相等,因此分别来研究左右导数。

右导数:任取,显然在区间上满足定理使用条件。

因为

时,有,对上式两边取极限,得:

即:

上式左边是处的右导数,右边是导函数处的右极限。

同理,有

上式左边是处的左导数,右边是导函数处的左极限。

存在

处可导,并且

由该定理立即可得出一个推论:如果函数在某个区间上可导,那么导函数在该区间上不存在第一类间断点。换句话说,如果一个函数在某个区间上存在第一类间断点,那么它在该区间上没有原函数。

发展简史

人们对拉格朗日中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代。古希腊数学家在几何研究中得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”。这正是拉格朗日定理的特殊情况,古希腊数学家阿基米德正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.。

意大利卡瓦列里在《不可分量几何学》(1635年)的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实:曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦。这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理。该定理是拉格朗日中值定理在几何学中的表达形式。

1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出了拉格朗日定理,他给出的定理的最初形式是:“函数之间连续,之间有最小值与最大值,则必取之间的一个值。”拉格朗日给出最初的证明,但证明并不严格,他给的条件比现在的条件要强,他要求函数在闭区间上具有连续导数,并且他所用的连续也是直观的,而不是抽象的。

十九世纪初,在微积分严格化运动中,柯西给出了拉格朗日中值定理的严格证明,在《无穷小计算教程概论》中,柯西证明了”如果导数在闭区间上连续,则必存在一点,使得。 ”柯西又在《微分计算教程》中将拉格朗日中值定理推广为柯西中值定理。

现代形式的拉格朗日中值定理是由法国数学家博(O.Bonnet)给出的,他不是利用导数的连续性,而是利用罗尔定理对拉格朗日中值定理进行了重新证明。

意义

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心,其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情况和推广,它是微分学应用的桥梁,在理论和实际中具有极高的研究价值。

几何意义

若连续曲线两点间的每一点处都有不垂直于轴的切线,则曲线在间至少存在1点,使得该曲线在点的切线与割线平行。

运动学意义

对于曲线运动在任意一个运动过程中至少存在一个位置(或一个时刻)的瞬时速率等于这个过程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理对洛必达法则进行严格的证明,并研究泰勒公式的余项。从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分。

拉格朗日

法国数学家。1754年开始研究数学,1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位,在那里工作达20年。1786年去法国,先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家,工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。在数学上,他最早的重要贡献是1859年解决了等周问题,从而开创了变分问题分析形式的一般解法。1766~1787年是他科学研究的多产时期,1766~1773年,他在数论方面做了一系列研究,1766年证明了所谓佩尔(Pell)方程的解的存在性,1770年证明费马的著名命题,每个正整数可表为至多4个平方数之和;1771年证明了著名的所谓威尔逊 (Wilson) 定理; 1773年关于整数的型表示问题获得关键性成果。1767~1777年,他又系统地研究了代数方程论,引入对称多项式理论,置换理论及预解式概念,指出根的排列理论是整个问题的真谛,对后来伽罗华的工作产生了重要影响。在这期间,他还在微积分、微分方程、力学、天文学领域广泛开展研究,导致了他的两部不朽巨著 《分析力学》 (1788)、《微分原理中的解析函数论》(1797)。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程,对黎卡提方程的重要研究,对线性微分方程组的研究,对奇解与通解的联系的系统研究,都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一,这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说:“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”