直角是什么?关于直角的详细介绍

创闻科学2020-11-16 15:27:42

在几何和三角学中,直角是正好90°(度)的角,对应于四分之一转。如果从一条直线上的任何一点发出一条射线,并且相邻角度相等,则该角度是直角。该术语是拉丁语angulus rectus;这里rectus表示“垂直”,指垂直于水平基线的垂直方向。

密切相关和重要的几何概念是垂直线,即在交点处形成直角的线,以及正交性,这是形成直角的特性,通常应用于矢量。三角形中直角的存在是直角三角形的定义因素,使直角成为三角学的基础。

在初等几何中

矩形是具有四个直角的四边形。 一个正方形除了等长边外,还具有四个直角。

毕达哥拉斯定理说明了如何确定三角形何时是直角三角形。

符号

直角三角形,通过一个小正方形显示直角。

另一种选择是用一条角度曲线和一个小点示意性地指示直角。

在Unicode 中,直角符号是U+221F“∟”RIGHT ANGLE(HTML∟ · ∟)。不应将其与形状相似的符号混淆U+231E“⌞”BOTTOM LEFT CORNER(HTML ⌞ · ⌞,⌞)。相关符号是U+22BE“⊾”RIGHT ANGLE WITH ARC(HTML ⊾ · ⊾)、U+299C“⦜”RIGHT ANGLE VARIANT WITH SQUARE(HTML ⦜ · ⦜)和U+299D“⦝”MEASURED RIGHT ANGLE WITH DOT (HTML ⦝ · ⦝)。

在图中,角是直角这一事实通常是通过在图中加上一个小直角来表示的,这个小直角与图中的角形成一个正方形,就像在右边的直角三角形的图中看到的那样。在某些欧洲国家(包括说德语的国家和波兰),测量角度的符号(带点的弧)被用作直角的替代符号。

欧几里得

在几何原本中,直角是基本的。在第1册定义10中定义直角,定义10也定义了垂直线。定义10没有使用数值度数测量,而是触及直角的核心,即两条直线相交形成两个相等且相邻的角。形成直角的直线叫做垂直线。欧几里德在定义11和12中使用直角来定义锐角(小于直角的角度)和钝角(大于直角的角度)。如果两个角的和是直角,则称这两个角为互补。

第1册假设4陈述了所有的直角都是相等的,这使得欧几里德可以用一个直角为单位来测量其他角度。欧几里德的评论员普罗克洛斯利用以前的假设给出了这个假设的证明,但可能有人认为该证明利用了一些隐藏的假设。塞开里也给出了证明,但使用了更明确的假设。在希尔伯特的几何学的公理化中,这个陈述是作为一个定理给出的,但只是在大量基础工作之后。有人可能会说,即使假设4可以从前面的几个假设中得到证明,按照欧几里得提出他的材料的顺序,包含它也是必要的,因为没有它,假设5(它使用直角作为度量单位)就没有意义。

转换为其他单位

直角可以用不同的单位表示:

  1. 1/4转

  2. 90°(度)

  3. π/2弧度或τ/4拉德

  4. 100 等级

  5. 8点(32点罗盘刻度)

  6. 6小时(天文小时角)

3-4-5规则

纵观历史,木匠和石匠已经知道了一种快速确认一个角度是否是真正的“直角”的方法。它基于最广为人知的勾股数 (3, 4, 5)和所谓的“3-4-5法则”。从所讨论的角度出发,沿着一条边正好3个单位长的直线,沿着另一条边正好4个单位长的直线,将会产生一条正好5个单位长的斜边(与连接两个测量端点的直角相对的较长直线)。无需技术手段即可快速进行此测量。测量背后的几何定律是毕达哥拉斯定理(“直角三角形斜边的平方等于两个相邻边的平方和”)。

泰勒斯定理

泰勒斯定理指出,在半圆内接的一个角(其顶点在半圆上,从顶点发出两条射线穿过半圆的端点)是直角。

包含直角和泰勒斯定理的两个应用示例(参见动画)。