梯形中位线定理是什么?关于梯形中位线定理的详细介绍

创闻科学2020-11-16 14:59:30

梯形中位线定理是数学学科几何学中的一个定理,是指连接梯形两腰中点的线段(称梯形的中位线)长度等于梯形两底之和长度的一半。如右图所示的梯形ABCD,点E、点F分别为梯形的两腰AB和DC的中点,则EF为梯形中位线,其梯形中位线定理用公式可表示为:EF=(AD+BC)/2。梯形的中位线平行于两底,即EF//AD//BC。

定理的发现

梯形中位线定理是在认知了梯形中位线定义和三角形中位线定理之后进行的,因此可以用类比探究的方法发现定理。

如下图,在梯形ABCD中,AD//BC,MN是梯形的中位线

① 测量一对同位角(如 ),猜想梯形的中位线与两底的位置关系。(平行)

② 测量梯形两底的长度和中位线的长度,猜想梯形的中位线与两底间的数量关系。(梯形中位线等于两底之和的一半)

综合①②可出现定理:梯形的中位线平行于两底,且等于两底之和的一半。

定理定义

梯形中位线定理是梯形的一个重要性质,在初中几何教学中占有重要地位。它既是对三角形中位线定理的拓展与应用,又为今后有关两条线平行和线段倍分关系的证明与应用提供了更为可行的方法。

梯形的中位线L平行于底边,且其长度为上底a加下底b之和的一半,用表达式表示为:

已知中位线长度和高,就能求出梯形的面积.

中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线。

定理证明

梯形中位线定理,由该定理的条件与结论,不难联想起三角形中位线定理、平行四边形性质等。由于所用的方法不同,所作的辅助线不同,所以有若干种不同的证明方法。

利用平行四边形性质证明

已知如图1,在梯形ABCD中,AD//BC,AM=MB,DN=NC。求证:

证明:如图1,过N点作AB的平行线分别交AD的延长线于F,交BC于E。

因为AF//BE,所以四边形ABEF为平行四边形。

所以AB=EF。

因为

所以

所以

又NE//MB,

所以四边形MBEN为平行四边形。

所以MN//BC,

即证。

利用三角形中位线定理证明

证明:如图2,过D作DE//AB交MN于H,交BC于E,过N作NF//AB交BC于F,则NF//DE且四边形ABED为平行四边形。

所以AB=DE。

因为DN=NC,

所以NF为 的中位线,

所以 ,

所以四边形MBFN也为平行四边形,

所以MN//BC,

所以

定理的推广

定理推论

如图3所示的梯形ABCD,AB//CD,AB=b,CD=a,E为AD边上任意一点,EF//AB,且EF交BC于F。研究这一问题时发现如下事实:

(1)当 时,有

(2)当 时,有

(3)当 时,有

于是猜想,当 时,有

证明:如图4所示,过E作GH//CB,交CD延长线于G,交AB于H。易知HBCG是平行四边形,

所以

解得

因此上述猜想成立,该结论可以称之为梯形中位线定理的推论。

相关例题

梯形ABCD的对角线AC、BD交于点G,EF平行于底边BC且过点G,又EC和FB相交于点H,MN平行于底边BC且过点H,如图5,求证:

证明:因为AD//EF//MN//BC,根据平行线分线段成比例定理可知,

根据梯形中位线定理的推论,在梯形ABCD中有

化简为:.

由此即得. ①

同理,在梯形EFCB中,有. ②

由①②可得,即证。

我们可以看到,利用梯形中位线定理的推广来证题,显得简捷,并对某一些较难的题目,利用它可以使思路更开阔顺畅,有利于解题。